笔记 on 亂筆

从频率崩溃到电压失控：两起大型停电事故带来的启示

Thu, 18 Dec 2025 00:08:30 +0800

现代电网正在经历一次巨大的转型，随着光伏、海上风电等新能源的占比在电网中越来越高，新能源和电力电子设备低转动惯量、低短路容量、换流设备需要大量无功支撑的特点以及它们给电网带来的不利影响也愈发明显。在此背景下，两期相隔六年相继发生在欧洲的大型停电事故显得尤为耐人寻味，本文将简要阐述两起事故的来龙去脉，对比它们的异同，分析造成这两起事故的本质原因，以及思考它们对现代电网的运行所带来的启示。

事故概述

2019 年英国「8·9」大停电事故

2019 年 8 月 9 日下午，英国发生了一次大规模电力中断，导致约 110 万用户断电，并对交通等关键基础设施造成了严重影响。整起事件的经过可以概括为一系列连锁反应，其中既有预料之中的系统保护行为，也有意料之外的设备故障。

第一阶段：罕见的三次雷击和大量有功意外脱网 (16:52:33)

当天下午 4 点 52 分，伦敦北部的 Eaton Socon – Wymondley 400kV 高压输电线路罕见的连续遭遇三次雷击。尽管如此，继电保护装置仍然按照整定正确动作，在不到 0.1 秒的时间内清除了故障，线路在约 20 秒后自动重合闸，恢复正常运行。雷击导致的电网电压的波动触发了分布式电源的矢量偏移保护¹，导致约 150MW 的嵌入式发电²脱网。这是雷击故障后的正常预期现象。

几乎在雷击的同时，发生了两起独立但致命的意外事件：

Hornsea 海上风电场：功率从 799MW 锐减至 62MW，损失了 737MW 的出力。
Little Barford 燃气电厂：其蒸汽轮机跳闸，瞬间损失了 244MW 的出力。

根据电网规范，这两处大型发电单元本不应该因为此类雷击故障而脱网或大幅减载，因此这被定性为「极其罕见和意外的事件」。

第二阶段：频率崩溃与系统响应 (16:52:34 - 16:53:31)

上述三项发电损失（150MW + 737MW + 244MW）累积造成了 1131MW 的功率缺口。这个损失超过了当时系统按 N-1 安全准则³设定的 1000MW 备用容量。巨大的功率缺口导致系统频率迅速下跌。

快速的频率下跌触发了更多分布式电源的 RoCoF⁴ 保护，导致额外的约 350MW 分布式电源相继脱网。此时，总发电损失已达 1481MW。系统中的所有备用电源——电池储能、分布式频率响应服务等迅速启动，紧急增援 1300MW，试图阻止频率下跌。它们的响应成功地使频率暂时稳定在 49.1 Hz（实际上这个频率已经相当危险了），并且开始缓慢回升。

然而，就在频率刚刚恢复到 49.2Hz 时，Little Barford 燃气电厂的一号机组也因蒸汽旁路系统压力异常而不得不紧急停机，再次损失 210MW 出力。

第三阶段：低频减载与系统恢复 (16:53:49 之后)

Little Barford 燃气电厂的第二次的意外跳闸耗尽了所有已在工作的备用资源，系统频率无力回天，最终跌破了48.8Hz的阈值。这自动触发了英国电网的最后一道防线——低频减载⁵。低频减载自动切除了约 5% 的电网需求，也就是约 1GW 的负荷，导致了约 110 万用户的断电。这一「弃车保帅」的措施有效地遏制了频率的下跌，防止了更严重的电网事故。

在切除部分负荷后，加上控制中心紧急调度其他电源，系统频率在 5 分钟内（16:57）恢复到了正常的 50Hz。在确认电网稳定后，配电网络运营商（DNOs）从 16:58 开始逐步恢复对用户的供电，到 17:37 所有用户恢复正常。

2025 年伊比利亚半岛大停电（西葡大停电）

2025 年 4 月 28 日，伊比利亚半岛出现大规模停电，西班牙和葡萄牙全境均受到影响。由于停电，上述地区的交通和通信服务均受到严重影响，交通信号灯停止工作，当地的地铁线路被迫停止运营，马德里网球公开赛受到停电影响也宣布暂停。此外，安道尔和法国南部也受到波及。这次大停电并非由单一故障引发，而是一系列事件环环相扣、逐步升级最终导致系统崩溃的级联事故。西班牙首相佩德罗·桑切斯表示，电力系统如此大规模的瘫痪前所未见。⁶

第一阶段：系统振荡与电压波动（中午 12:03 - 12:19）

2025 年 4 月 28 日中午 12:00，西班牙电力系统处于正常运行状态，电压和频率均在标准范围内，没有任何迹象预示即将发生灾难。

12:03，系统中检测到一个显著的 0.6 Hz 强迫振荡，持续了近 5 分钟。频谱分析及后续溯源表明，这次振荡源于巴达霍斯（Badajoz）省一座光伏电站的内部控制逻辑异常。振荡导致了系统电压出现跌落，为此，电网调度中心采取了紧急阻尼措施，包括更改拓扑结构、切除并联电抗器，并大幅削减与法国的电力交换。

12:19，系统再次出现 0.2 Hz 的欧洲区域间振荡⁷，并叠加了之前残留的 0.6 Hz 振荡。调度中心被迫进一步减少与法国和葡萄牙的电力交换。虽然这些措施有效抑制了振荡，但削减联络线潮流这一动作，导致输电通道轻载，不仅减少了线路上的无功损耗，还因充电功率过剩开始推高系统电压，为后续的电压越限埋下了伏笔。

第二阶段：电压攀升与级联故障的形成（中午 12:22 - 12:33）

从 12:22 开始，系统电压呈现持续攀升趋势，尽管尚未突破操作限值，但上升速率异常。这背后是多重因素的叠加效应：

隐性负荷脱网（Hidden Demand Loss）：配电网中约 700 MW 的分布式光伏和自用发电设备（<1MW）因电压扰动不明原因脱网。在输电网看来，这表现为净负荷突然下降，即「发电大于负荷」，潮流进一步减小，从而导致电压抬升。
逆变器电源的有功/无功耦合：部分可再生能源电站为响应调度指令降低有功出力。然而，由于这些设备主要采用功率因数控制⁸（Power Factor Control）而非电压控制，有功的降低导致其吸收无功的能力同步下降，丧失了抑制电压上升的手段。
常规机组励磁响应不足：本应作为电压「压舱石」的同步发电机组（需符合 P.O. 7.4 规程），未能按预期深度进相运行吸收无功，导致动态电压支撑失效。

12:32:57，位于格拉纳达（Granada）的一座发电站发生跳闸，损失 355 MW 有功出力及 165 Mvar 的无功吸收能力。值得注意的是，此时输电网侧电压仍在正常范围内⁹。报告推断故障根源在于升压变压器的有载调压¹⁰动作滞后。当主网电压升高时，分接头未能及时响应，导致发电机侧（220kV 侧）出现严重的过电压，触发继电保护动作跳闸。

19.5 秒后（12:33:16），巴达霍斯省另外两座光伏电站相继跳闸，累计再损失 727 MW。原因同样指向电站内部过压保护配合不当，而非主网故障。

在随后的 650 毫秒内，西班牙各地的风电和光伏电站发生雪崩式脱网，额外损失约 834 MW。此时，系统已从电压问题转化为严重的有功功率缺额。

第三阶段：孤网运行与系统崩溃（中午 12:33 之后）

在短短 22.5 秒的级联故障中，系统累计瞬时损失了约 2000 MW 的发电量。巨额的功率缺口导致系统频率急剧跳水，而大量进相运行机组的脱网又导致系统丧失了无功吸收能力，电压开始失控性飙升。

12:33:19，西班牙与法国的交流联络线因严重功角失步跳闸。西班牙和葡萄牙电网进入孤网运行¹¹状态。

尽管交流线已断开，但西班牙与法国之间的 HVDC（高压直流输电）链路由于处于恒功率控制模式且未配置频率响应功能¹²，并未切断，仍强行向法国出口 1000 MW 功率。这使得本已脆弱不堪的孤网雪上加霜。

虽然低频减载⁵装置正确动作试图挽救频率，但切除负荷会导致线路空载电压进一步升高。「电压升高–>发电机过压保护脱网–>低频率–>切负荷–>电压进一步升高」的恶性循环让系统彻底失去稳定。

随着频率跌破 47.79 Hz，核电站、燃气轮机等大型基荷机组因低频保护动作相继脱网。最终，在 12:33:24，伊比利亚半岛电力系统电压崩溃¹³，全网陷入大停电。

一些基本概念

为了彻底理解这两起事故的本质区别，我们需要先复习一些电气工程的核心概念，建立起分析问题的理论基础。

有功功率、无功功率与复功率

在交流电路中，「功率」是一个复数概念。

有功功率 ($P$)：复功率的实部，单位是瓦特 ($\text{W}$)。它是实际做功、转换能量（如发光、发热、驱动电机）的部分。
无功功率 ($Q$)：复功率的虚部，单位是乏 ($\text{var}$)。它并不直接做功，而是在电源和储能元件（电感、电容）之间往复交换能量，用于建立和维持电磁场。
复功率 ($\widetilde{S}$)：二者的矢量和。

公式表示为：

$$ \widetilde{S} = P + jQ $$

设备铭牌上标注的通常是视在功率 ($S$)，即复功率的模，单位是伏安 ($\text{V}\cdot\text{A}$)，其物理意义是设备能够承受的电压与电流乘积的极限：

$$ S = |\widetilde{S}| = \sqrt{P^2 + Q^2} $$

形象的理解： 如果你在拉一辆车，有功功率就是你朝车前进方向用的力，它让车真正移动；无功功率则是你为了维持姿势或者因为路面倾斜而垂直于移动方向用的力，虽然它不做功，但必不可少¹⁴。

在电网中，无功功率的核心作用是支撑电压。如果无功不足，电压就会像泄气的皮球一样支撑不住；如果无功过剩，电压就会像充气过度的气球一样飙升。因此，电力系统的一大原则是无功功率要「分层分区，就地平衡」。

感性无功与容性无功

工程上规定：电感消耗无功，电容产生无功¹⁵。

感性负荷（如电动机、变压器）：需要消耗正的无功功率来建立磁场。如果电网无法提供足够的无功，这些设备就无法正常工作。现实中绝大多数负荷都是感性的。
容性元件（如电容器、长输电线路的对地电容）：可以看作是无功功率的「发电机」，它们向电网注入无功功率，提升电压。

电压降落与 $P-Q$ 解耦

当电流流过一段输电线路时，首末端之间会产生电压降落。若忽略线路电阻（在高压电网中 $X \gg R$），电压降落的纵分量（影响幅值）和横分量（影响相位）可以简化表示为：

$$ \Delta U \approx \frac{QX}{U} \quad \text{(电压幅值降落)} $$$$ \delta U \approx \frac{PX}{U} \quad \text{(电压相位差)} $$

这是一个至关重要的结论：

电压幅值 ($U$) 主要取决于无功功率 ($Q$) 的平衡。无功多了电压就高，少了电压就低。这是理解西葡大停电的基础。
功角/相位 ($\delta$) 主要取决于有功功率 ($P$) 的平衡。这与系统的频率特性密切相关。

系统惯量与频率特性

为了理解2019 年英国大停电，我们还需要引入惯量 ($H$) 的概念。

电网频率 ($f$) 体现了全网有功功率的供需平衡。

当 发电 < 用电 时，转子动能被抽取，转速下降，频率降低。
当 发电 > 用电 时，转子加速，频率上升。

传统的同步发电机有巨大的旋转转子，储存了巨大的动能。当发电机突然脱网（有功缺口）时，这些旋转的「大铁疙瘩」会利用惯性释放动能，阻碍频率的快速下跌。这被称为系统的惯量。

然而，光伏和风电通过电力电子设备并网，它们没有直接耦合的旋转质量，被称为「零惯量」电源。当这些电源占比很高时，电网就像失去了「飞轮」的缓冲，一旦出事，频率会跌得极快¹⁶。

容升效应与此次事故的关联

为什么切除了发电机，电压反而会飙升？ 这看似反直觉，实则是容升效应与线路负载共同作用的结果。

高压输电线路模型包含两部分关键参数：

串联电感 ($L$)：电流流过时会消耗无功 ($Q_{consumed} = I^2 X_L$)。
并联对地电容 ($C$)：电压作用其上时会产生无功 ($Q_{generated} = U^2 B_C$)。

事故前的平衡状态：西班牙南部光伏大发，巨大的有功功率 ($P$) 正在通过长距离线路向北输送。此时线路电流 ($I$) 很大，电感消耗了大量的无功，正好抵消了电容产生的无功，甚至还需要发电机吸收一部分多余的无功。

事故后的失控过程：当发电机组连锁脱网，或者因强迫振荡导致潮流中断时，线路上的有功功率传输瞬间归零，导致电流 ($I$) 骤降。

后果 1：线路电感对无功的消耗 ($I^2 X_L$) 瞬间消失。
后果 2：线路依然带电，对地电容产生的充电无功 ($U^2 B_C$) 依然存在，甚至因电压升高而更多。

瞬间，原本被消耗掉的巨量无功功率变得无处可去，全部堆积在线路上，直接将系统电压「顶」到了破坏性的高度。这就是所谓的「空载线路容升效应」在事故中的极端表现。

两起不同的事故，一份共同的反思

这两起事故虽然在演化路径上截然不同，但其背后折射出的挑战却有着惊人的相似性，二者都是现代电网发展进程中必然面临的「成长的阵痛」。正如南方电网的安全理念所言：「一切事故都可以预防」，作为一名电气工程专业的学生，我希望通过深入剖析这两起事故，探寻其底层的技术逻辑，以加深对新型电力系统特性的理解。

表象的差异：崩溃路径的「一明一暗」

2019 年英国「8·9」大停电是一次典型的，显性的频率危机。机组脱网导致有功功率缺口，直接引发频率骤降，但系统最终依靠低频减载⁵作为最后一道防线，成功避免了全网崩溃。相比之下，2025 年伊比利亚半岛大停电则呈现出了一种更为隐蔽且致命的新形态——隐性的电压危机。事故虽然始于扰动，但核心矛盾迅速演变为严重的无功过剩与电压失控，而原本用于挽救频率的低频减载⁵措施，反而在客观上恶化了电压升高，导致整个系统在短短几十秒内彻底瓦解。

这就引出了一个核心问题：传统的电网故障通常伴随着电压跌落，但在 2025 年的事故中，为何会出现发电机组不断脱网，而系统无功功率反而严重过剩、电压持续飙升的反常现象？传统的电压控制手段¹⁷为何全然失效？

答案在于：电压失控的速率，远远超过了传统防御手段的响应极限。

事故发生时，伊比利亚南部正值光伏大发，系统呈现「高电压、轻负荷」的运行特征。当系统发生强迫振荡时，输电走廊潮流发生剧变。由于超高压线路的容升效应显著，发电机组的连锁脱网带来了双重打击：一方面，电网失去了大量能够吸收无功的同步机组；另一方面，线路输送的有功功率锐减，导致其自身消耗的无功大幅降低，线路瞬间从「无功负载」变成了巨大的「无功电源」。系统随即陷入了无功严重过剩的恶性循环。

面对这种几十毫秒级甚至更快的电压崩溃，依靠机械开关投切的并联电抗器显得力不从心。首先是速度滞后：从调度指令发出、通信传输到断路器机械动作，由于包含人为决策和机械过程，往往需要数百毫秒甚至秒级时间，根本无法追赶电压飙升的速度。其次是调节颗粒度粗糙：电抗器只能以组为单位（如 50 Mvar 或 100 Mvar）进行离散投切，无法像水龙头一样提供平滑、连续的调节。在极端的电压动态过程中，这种非连续的阶跃式调节不仅不够精准，甚至可能引发新的系统扰动。

本质的共性：脆弱性的同根同源

剥开表象的差异，我们会发现两起事故的根源惊人地一致，都指向了新型电力系统的结构性脆弱：

首先，设备并网行为的合规性令人担忧。无论是英国事故中的分布式嵌入式电源，还是伊比利亚事故中的光伏电站，事故扩大的直接推手都是大量机组未能严格遵守并网规程（如西班牙的 P.O. 74 标准或英国的 Grid Code）。缺乏故障穿越能力，导致设备在扰动初期即发生不合规的连锁脱网，将「小事故」放大为「大灾难」。

其次，新型电气设备和电源的控制模型长期存在「黑箱化」的问题。系统中存在大量调度中心「看不见、管不着」的盲区。例如英国事故中 Hornsea 海上风电场在故障后的功率异常锐减，以及大量分布式电源的不可控行为。这些电力电子化设备内部控制逻辑的「黑箱状态」，使得传统的仿真模型失效，调度员无法准确预判系统行为。

更加雪上加霜的是，整个系统的转动惯量正在越来越少。随着高比例新能源接入，交流电网的旋转惯量和短路容量被稀释，系统抗扰动能力显著下降。电网变得更加「轻薄」和「敏感」，任何微小的扰动都可能引发剧烈的频率或电压波动。

一致的解决方案：迈向韧性电网

基于上述反思，未来的电网建设与事故防御应当聚焦于以下三个方向：

一曰部署先进的动态无功支撑技术。必须以此为契机，加速推广 STATCOM（静止同步补偿器）等具有毫秒级响应速度、可平滑调节的电力电子装备，逐步替代传统的机械式无功补偿装置，以应对瞬息万变的电压动态。

二曰打破「黑箱」，强化全景建模。必须建立更精细化的电磁暂态仿真模型，打破新能源场站和逆变器控制的「黑箱」，确保调度端能真实掌握海量电力电子设备的动态特性，消除盲区。

三曰革新分析与控制范式。传统的基于稳态或工频量的分析方法已不再适用。我们需要建立涵盖宽频域振荡、电压/频率耦合特性的新一代安全稳定分析的理论框架，并重新审视低频减载⁵等传统防线在新型电网中的适应性。

结语：草台班子

我们在前文中洋洋洒洒分析了复杂的电磁暂态、昂贵的 STATCOM 和精妙的控制理论，但现实却狠狠地扇了我们一巴掌——摧毁整个电网的，往往不是什么未研究的知识，而是来自人类本身的不可靠。

机组的并网规程早就白纸黑字写得明明白白，却长期未能执行，P.O 7.4 规程更是迟迟未能通过；2019 年英国大停电的「学费」交得那么贵，所有的事故分析报告都指向了合规性问题，然而 6 年后的伊比利亚半岛，竟然还能因为一模一样的逻辑再次翻车，而且翻的比 6 年前还要惨烈，还要彻底。

面对这种跨越国界、跨越时间的重复犯错，任何技术层面的分析都显得苍白无力。黑格尔那句名言至今听来依然振聋发聩，且含金量还在随着每一次大停电不断暴涨：

「人类从历史中学到的唯一教训，就是人类无法从历史中吸取任何教训。」

也许这就是世界的本质吧，世界永远不是围绕着技术本身运转的，「人」才是这个世界的决定性因素。这个世界是一个草台班子，而且永远会是一个草台班子，而只要还是个草台班子，那么下一次翻车，永远只是时间问题。

矢量偏移保护的初衷是解决「孤岛效应」——假设一条配电线路因为故障或检修，从主电网上被断开。但这条线路上恰好连接着一个嵌入式发电机，如果没有矢量偏移检测，这个发电机就会继续为这条线路供电，进而大大增加设备损坏的几率，甚至威胁运行检修人员的安全。因此，矢量偏移保护就是早期用于检测嵌入式发电机是否进入孤网运行状态的方法。 ↩︎
多为用户侧的小型发电系统。 ↩︎
N-1 安全准则的意思是，当系统中最大的一台机组因故障而停运时，系统应有足够的备用容量作为频率和电压的支撑。 ↩︎
Rate of Change of Frequency，频率变化率。 ↩︎
低频减载（Low Frequency Demand Disconnection, LFDD 或者 Under-Frequency Load Shedding, UFLS）是电力系统防止频率崩溃的关键安全保护措施，当系统发生功率缺额导致频率下降时，它通过自动、分级地切除非重要负荷（如工业用电、路灯等），以快速恢复系统功率平衡，防止大面积停电或系统崩溃。低频减载系统通过频率测量和执行单元实现，设定多个频率动作点（如48.5Hz, 47.5Hz, 46.5Hz），逐级切除负荷，保障重要用户和核心设备运行，是电网安全运行的第三道防线。 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎
来源：France24 的报导 ↩︎
技术报告中的原文是「inter-area oscillation」，基于上下文，其意思应该是整个欧洲互联电网的 0.2Hz 振荡。 ↩︎
风电、光伏等新能源机组一般采用最大功率点追踪 MPPT，来实现新能源机组出力的最大化。 ↩︎
418kV，仍在标准电压允许的偏移范围内。 ↩︎
即变压器的带负载调压。 ↩︎
孤网运行（或孤岛运行）指局部电网脱离主大电网，独立供电的运行模式，特点是自给自足，但面临频率、电压不稳定等挑战，依赖储能和控制技术维持，常见于偏远地区、岛屿、或工业园区。这里的孤网运行是因为联络线中断而被迫进入的。 ↩︎
恒功率控制模式（Constant Power Mode）是一种电源输出模式，它的核心特点是无论负载如何变化，始终保持电源输出的功率（P）恒定（P = 电压 V × 电流 I），电源会根据负载需求自动调节电压和电流，以维持这个恒定功率。 ↩︎
电压崩溃（Voltage Collapse）是电力系统一种严重的事故，指系统因无功功率严重不足，导致电压持续、恶性下降并无法恢复，形成电压跌落的恶性循环，最终引起大面积停电。 ↩︎
工程界常以「啤酒」作比喻：啤酒杯里的液体是「有功」，上面的泡沫是「无功」。虽然泡沫不解渴，但没有泡沫的啤酒失去了灵魂（无法建立磁场），且为了装满杯子（视在功率），泡沫总是客观存在的。 ↩︎
这是一个约定俗成的称呼。严格来说，电容是「吸收负的无功」，但在工程实践中，为了方便理解无功平衡，我们通常说电容「发出/提供感性无功」，起到支撑电压的作用。 ↩︎
频率下降的速度被称为 RoCoF (Rate of Change of Frequency)。高 RoCoF 是导致英国「8.9」停电中分布式电源连锁脱网的直接元凶。 ↩︎
即消耗过剩无功的措施，如投切并联电抗器等。 ↩︎

一些关于电力系统分析的笔记

Mon, 03 Feb 2025 23:32:03 +0800

近期进行了一个小测验，发现了一些我在电力系统分析方面基础知识的疏漏，遂整理一篇笔记。现在我将这篇笔记中相对通用且有价值的部分分享出来，希望能对正在阅读这篇文章的你起到一些帮助。

分裂导线的作用

相较于普通导线，分裂导线后等效的 $r_{eq}$ 增大，从而减小了线路电抗，降低了电晕发生的可能性，提高了整个系统的静态稳定极限，以下是我整理的分裂导线的作用：

降低线路电抗 $X$
$$ r_{eq} \uparrow \Longrightarrow \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x_1 \downarrow = 0.1445 \lg \left( \frac{D_m}{r_{eq} \uparrow} \right) + 0.0157 \mu_r \, (\Omega/\text{km}) & \\ b_1 \uparrow = \omega C_1 = \frac{7.58}{\lg \left( \frac{D_m}{r_{eq} \uparrow} \right)} \times 10^{-6} \, (\text{S/km}) & \end{array} \right. \end{equation} $$
因为电纳 $b$ 的变化规律与电抗 $x$ 几乎相反，所以也可以直接得出分裂导线会增大电纳的结论。
提高电晕临界电压 $U_{cr}$
$$ U_{cr} \uparrow= E{cr} \cdot r_{eq} \uparrow \cdot \frac{n}{K_{n}} \cdot \ln \frac{D_m}{r_{eq} \uparrow} $$
提高静态稳定极限 $P_{M}$
$$ P_{M} \uparrow = \frac{E_{q}U}{X \downarrow} $$
减小线路波阻抗 $Z_{c}$，进而提高线路的最大传输功率。
$$ Z_{c} \downarrow = \sqrt{\frac{X \downarrow}{B \uparrow}} = \sqrt{\frac{L}{C}} $$
自然功率 $P_{natural} \uparrow = \frac{U_{n}^2}{Z_{c} \downarrow}$，而总功率 $P = P_{n} \times \frac{1}{\sin{\beta} L}$，所以分裂导线可以提高线路的最大传输功率。

变压器分接头的选择

看例题：已知某变压器变比为 $110(1 \pm 2 \times 2.5\%) / 11\text{kV}$，容量为 $20 \text{MVA}$，低压侧母线的最大负荷为 $10.8 + j14.4 \text{MVA}$，最小负荷为 $4.9 + j5 \text{MVA}$，归算到高压侧的变压器参数为 $5 + j60 \Omega$，变电所高压侧母线在任何情况下均维持电压为 $107 kV$，为了使低压侧母线保持顺调压，该变压器应当选择哪个分接头？

A. 主接头档，$ U_1 = 110 kV $

B. 110(1 - 5%) 档，$ U_1 = 104.5 kV$

C.110(1 + 2.5%)档，$U_1 = 112.75 kV$

D.110(1 - 2.5%) 档，$ U_1 = 107.25kV$

一个公式：$U_{TJ} = U_2’ \cdot \frac{U_{2N}}{U_2}$

其中 $U_2’$ 为归算到一次侧的二次侧电压，$U_{2N}$ 为变压器二次侧额定电压，$U_2$ 为实际的要求电压。为了计算得到分接头电压 $U_{TJ}$，需要分别求出最大负荷时的分接头电压 $U_{TJmax}$ 和最小负荷时的分接头电压 $U_{TJmin}$，再将两者取平均值得 $U_{TJav}$，最后选取最接近 $U_{TJav}$ 的分接头。题目中，变压器二次侧额定电压 $U_{2N}$ 为 11kV。$U_2$ 的确定则需要参考知识点「中枢电压的调整方式」。

中枢点电压的调整方式

调压方式	最大负荷要求电压（不小于）	最小负荷要求电压（不大于）	特点
顺调压	$ 1.025 U_N $	$ 1.075 U_N $	难度最小，适用于供电范围小，线路不长，供电要求低的场景。
逆调压	$1.05U_N$	$U_N$	难度最大。
常调压（恒调压）	$1.02U_N\sim1.05U_N$	$1.02U_N\sim1.05U_N$

注意这个表格中的 $U_N$ 为低压侧母线的额定电压。

题目中要求低压侧母线保持顺调压，且低压侧额定电压可轻易看出（1.1 倍额定电压 = 11kV）为 10kV，则最大负荷时 $U_{2max} = 1.025 U_N = 10.25kV$，最小负荷时 $U_{2min} = 1.075 U_N = 10.75 kV$，归算到高压侧的低压侧额定电压则需要在高压侧电压的基础上减去变压器的电压降落，具体计算公式为：

$$ U_{2max}' = U_1 - \frac{P_{max}R + Q_{max}X}{U_1} = 107 - \frac{10.8 \times 5 + 14.4 \times 60}{107} = 98.42 kV \\ U_{2min}' = U_1 - \frac{P_{min}R + Q_{min}X}{U_1} = 107 - \frac{4.9 \times 5 + 5 \times 60}{107} = 103.97 kV $$

最后将所有数据代入计算：

$$ \begin{cases} U_{TJ\max} = U_{2\max}' \cdot \frac{U_{2N\max}}{U_{2\max}} = 98.42 \times \frac{11}{10.25} = 105.62~\text{kV} \\ U_{TJ\min} = U_{2\min}' \cdot \frac{U_{2N\min}}{U_{2\min}} = 103.97 \times \frac{11}{10.75} = 106.39~\text{kV} \end{cases} \Rightarrow U_{TJ} = \frac{U_{TJ\max} + U_{TJ\min}}{2} = \frac{105.62 + 106.39}{2} = 106.005\text{kV} $$

选择距离 $U_{TJ}$ 最近的分接头，题目中「D.110(1 - 2.5%) 档，$ U_1 = 107.25kV$」最为接近，所以本题选 D。

其实这道题有问题……

最后以选择分接头后变压器的最终变比校验这个分接头：

$$ U_{2max} = U_{2max}' \times \frac{11 kV}{107.25 kV} = 10.09 kV < 10.25 kV\\ U_{2min} = U_{2min}' \times \frac{11 kV}{107.25 kV} = 10.66 kV < 10.75 kV $$

可以看到，如果选择这个变比，校验是不成功的，但这道题并非出自什么非常正式的考试，所以大家看着笑笑就完事了。

调差系数百分比

调差系数为功频静态特性参数 $K_{G*}$ 的倒数，符号为 $\sigma_{*}$，其用百分数表示就是调差系数百分比。

$$ \frac{\sigma_{ *}\%}{100} = \frac{1}{K_{G*}} $$

极限切除角的计算

先来看一道例题：系统接线如下图所示，设在一回线路始端突然发生三相短路，已知原动机机械功率 $P_T = 1.5$，双回线路运行时系统的功角特性为 $P_I = 3 \sin{\delta}$，切除一回线路后系统的功角特性为 $P_{III} = 2\sin{\delta}$。则故障的极限切除角 $\delta_m =$ ?

按照某些教材上的说法，你需要将所有数据代入下面这个公式里：

$$ \cos{\delta_{cm}} = \frac{P_T(\delta_h - \delta_0) + P_{IIImax}\cos{\delta_h} - P_{IImax}\cos{\delta_0}}{P_{IIImax} - P_{IImax}} $$

求出 $\cos{\delta_{cm}}$ 的值之后再代入反三角函数得到最终的角度 $\delta_{cm}$。先不说这个过程到底复不复杂，这种又臭又长的公式我看到就不想记。所以我们直接用等面积定则来做——如下图所示，根据等面积定则的定义，可以列出如下等式：

$$ \int_{\delta_0}^{\delta_{cmax}} P_m - P_{II} \mathrm{d}\delta = \int_{\delta_{cmax}}^{\delta{max} = \delta_k'}P_{III} - P_m \mathrm{d}\delta $$

其中 $\delta*{cmax} $ 就是极限切除角。根据题目条件，分别列写加速面积和减速面积的表达式，可以得到如下的等式，其中出于方便以 $ x $ 代替了 $ \delta*{cmax} $：

$$ \int_{\frac{\pi}{6} }^{x} (1.5 - 0) \mathrm{d}x = \int_{x}^{\pi - \arcsin{0.75}} (2\sin{x} - 1.5) \mathrm{d}x $$

接下来就是微积分的事情了：

$$ [1.5x]^x_{\frac{\pi}{6}} = [-2\cos{x} - 1.5x]^{\pi - \arcsin{0.75}}_x \\ 1.5x - 1.5 \times \frac{\pi}{6} = [-2\cos{(\pi - \arcsin{0.75})}-1.5 \times (\pi - \arcsin{0.75})]-(-2\cos{x} - 1.5x) \\ 1.5x - \frac{\pi}{4} = -2\cos{(\pi - \arcsin{0.75})} - 1.5\pi + 1.5 \times \arcsin{0.75} + 2\cos{x} +1.5x \\ \frac{5}{4}\pi + 2\cos{(\pi - \arcsin{0.75})} - 1.5 \times \arcsin{0.75} = 2\cos{x} \\ \cos{x} = \frac{5}{8} \pi - \cos{(\arcsin{0.75})} - 0.75 \times \arcsin{0.75} \\ \cos{x} = 0.66601 $$

最后将 $\cos{x}$ 的值代入反三角函数可以求得角度大约为 48.2 度，这个角度也就是我们要求的极限切除角。计算过程中，需要注意：

右边的积分终点也是故障切除后的功角特性 $P_{III}$ 和原动机功率 $P_T$ 的交点。
左边的积分是 $P_T - P_{II}$，右边的积分是 $P_{III} - P_{T}$，本题是三相短路，所以 $P_{II} = 0$，不要搞错了。
由于推导时所用的值全都以标幺值表示，因而式中 $\delta_c$、$\delta_k’$ 等角度亦需以 rad 表示（$360\degree = 2\pi \text{ rad}$）。
最后一步等式右边求出来是 $\cos{x}$ 的值，而不是弧度，不要一着急一股脑直接 $0.66601 \times \frac{180 \degree}{\pi}$ 求出一个错误的角度而前功尽弃。做题要一步一步来，充分发挥草稿纸充当自己第二大脑的作用，不要跳步，不要心急。

不对称短路电流与正序电流的关系

短路类型	短路电流
单相短路	$I_{fn} = 3 I_{fl}$
两相短路	$I_{fb} = I_{fc} = \sqrt{3} I_{fl}$
两相短路接地	$I_{fb} = I_{fc} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{x_{\Sigma0}x_{\Sigma2}}{(x_{\Sigma0}+x_{\Sigma2})^2} }I_{fl}$

潮流计算中节点的分类

节点类型	已知量	待求量	节点数量（总共有 n 个节点）	备注
PQ 节点	有功功率 $P_i$ 和无功功率 $Q_i$	电压幅值 $U_i$ 和相角 $\delta_i$	$m$	一般是用户
PV 节点	有功功率 $P_i$ 和电压幅值 $U_i$	无功功率 $Q_i$ 和相角 $\delta_i$	$n-m-1$	具有电压调节能力的节点，比如静止无功补偿器
平衡节点	电压幅值 $U_i = 1$ 和相角 $\delta_i = 0$	有功功率 $P_i$ 和无功功率 $Q_i$	$1$	承担平衡全网功率任务的大容量机组

静态储备系数的计算

例题：在如下图所示的电力系统中，已知以发电机额定容量为基准的各元件电抗和系统电压的标幺值为：正常运行时，$x_d = 1.8$、$x_{T1}=x_{T2}=0.25$、$U=1.0$、$P=0.8$、$\cos{\Phi}=0.8$，若发电机为隐极机，空载电动势 $E_q = \text{常数}$，则正常运行时，静态稳定储备系数$K_p = $？

静态稳定储备系数的计算公式如下：

$$ K_p = \frac{P_M - P_0}{P_0} $$

本题中 $P_0$ 已知等于 0.8，所以题目就变成求 $P_M$ ，其计算公式如下：

$$ P_M = \frac{E_qU}{X_{d\Sigma}} $$

本题中 $X_{d\Sigma} = x_d + x_{T1} +\frac{x_L}{2} + x_{T2} = 2.55$，$U = 1.0$，所以问题又变为求 $E_q$。题目中 $P = 0.8、\cos{\Phi}=0.8$，则 $S = 1.0，Q = 0.6$，已知 P、Q、U，求上一级节点的电压，公式如下：

$$ \begin{cases} \Delta U = \frac{PR + QX}{U} = \frac{0 + 0.6 \times 2.55}{1.0} = 1.53 \\ \delta U = \frac{PX - QR}{U} = \frac{0.8 \times 2.55 - 0}{1.0} = 2.04 \\ \end{cases} \Longrightarrow E_q = \sqrt{(U + \Delta U)^2 + \delta U^2} = \sqrt{(1 + 1.53)^2 + 2.04^2} = 3.25 $$

其中 $\Delta U$ 是纵分量，$\delta U$ 是横分量。

关于纵分量和横分量的定义：这个定义并非以笛卡尔坐标系为参考基准，而是以观察者的视角为基准，前后为纵，垂直为横。

现在 $E_q$ 已经求得，最后求出 $P_M$ 进而求出 $K_p$：

$$ P_M = \frac{E_qU}{X_{d\Sigma}} = \frac{3.25 \times 1.0}{2.55} = 1.27 \\ K_p = \frac{P_M - P_0}{P_0} = \frac{1.27 - 0.8}{0.8} = 0.5875 = 58.75\% $$