筆記 on 亂筆

從頻率崩潰到電壓失控：兩起大型停電事故帶來的啓示

Wed, 17 Dec 2025 16:08:30 +0000

現代電網正在經歷一次巨大的轉型，隨着光伏、海上風電等新能源的佔比在電網中越來越高，新能源和電力電子裝置低轉動慣量、低短路容量、換流裝置需要大量無功支撐的特點以及它們給電網帶來的不利影響也愈發明顯。在此背景下，兩期相隔六年相繼發生在歐洲的大型停電事故顯得尤為耐人尋味，本文將簡要闡述兩起事故的來龍去脈，對比它們的異同，分析造成這兩起事故的本質原因，以及思考它們對現代電網的執行所帶來的啓示。

事故概述

2019 年英國「8·9」大停電事故

2019 年 8 月 9 日下午，英國發生了一次大規模電力中斷，導致約 110 萬用戶斷電，並對交通等關鍵基礎設施造成了嚴重影響。整起事件的經過可以概括為一系列連鎖反應，其中既有預料之中的系統保護行為，也有意料之外的裝置故障。

第一階段：罕見的三次雷擊和大量有功意外脱網 (16:52:33)

當天下午 4 點 52 分，倫敦北部的 Eaton Socon – Wymondley 400kV 高壓輸電線路罕見的連續遭遇三次雷擊。儘管如此，繼電保護裝置仍然按照整定正確動作，在不到 0.1 秒的時間內清除了故障，線路在約 20 秒後自動重合閘，恢復正常執行。雷擊導致的電網電壓的波動觸發了分散式電源的向量偏移保護¹，導致約 150MW 的嵌入式發電²脱網。這是雷擊故障後的正常預期現象。

幾乎在雷擊的同時，發生了兩起獨立但致命的意外事件：

Hornsea 海上風電場：功率從 799MW 鋭減至 62MW，損失了 737MW 的出力。
Little Barford 燃氣電廠：其蒸汽輪機跳閘，瞬間損失了 244MW 的出力。

根據電網規範，這兩處大型發電單元本不應該因為此類雷擊故障而脱網或大幅減載，因此這被定性為「極其罕見和意外的事件」。

第二階段：頻率崩潰與系統響應 (16:52:34 - 16:53:31)

上述三項發電損失（150MW + 737MW + 244MW）累積造成了 1131MW 的功率缺口。這個損失超過了當時系統按 N-1 安全準則³設定的 1000MW 備用容量。巨大的功率缺口導致系統頻率迅速下跌。

快速的頻率下跌觸發了更多分散式電源的 RoCoF⁴ 保護，導致額外的約 350MW 分散式電源相繼脱網。此時，總髮電損失已達 1481MW。系統中的所有備用電源——電池儲能、分散式頻率響應服務等迅速啓動，緊急增援 1300MW，試圖阻止頻率下跌。它們的響應成功地使頻率暫時穩定在 49.1 Hz（實際上這個頻率已經相當危險了），並且開始緩慢回升。

然而，就在頻率剛剛恢復到 49.2Hz 時，Little Barford 燃氣電廠的一號機組也因蒸汽旁路系統壓力異常而不得不緊急停機，再次損失 210MW 出力。

第三階段：低頻減載與系統恢復 (16:53:49 之後)

Little Barford 燃氣電廠的第二次的意外跳閘耗盡了所有已在工作的備用資源，系統頻率無力迴天，最終跌破了48.8Hz的閾值。這自動觸發了英國電網的最後一道防線——低頻減載⁵。低頻減載自動切除了約 5% 的電網需求，也就是約 1GW 的負荷，導致了約 110 萬用戶的斷電。這一「棄車保帥」的措施有效地遏制了頻率的下跌，防止了更嚴重的電網事故。

在切除部分負荷後，加上控制中心緊急排程其他電源，系統頻率在 5 分鐘內（16:57）恢復到了正常的 50Hz。在確認電網穩定後，配電網絡運營商（DNOs）從 16:58 開始逐步恢復對用戶的供電，到 17:37 所有用戶恢復正常。

2025 年伊比利亞半島大停電（西葡大停電）

2025 年 4 月 28 日，伊比利亞半島出現大規模停電，西班牙和葡萄牙全境均受到影響。由於停電，上述地區的交通和通訊服務均受到嚴重影響，交通訊號燈停止工作，當地的地鐵線路被迫停止運營，馬德里網球公開賽受到停電影響也宣佈暫停。此外，安道爾和法國南部也受到波及。這次大停電並非由單一故障引發，而是一系列事件環環相扣、逐步升級最終導致系統崩潰的級聯事故。西班牙首相佩德羅·桑切斯表示，電力系統如此大規模的癱瘓前所未見。⁶

第一階段：系統振盪與電壓波動（中午 12:03 - 12:19）

2025 年 4 月 28 日中午 12:00，西班牙電力系統處於正常執行狀態，電壓和頻率均在標準範圍內，沒有任何跡象預示即將發生災難。

12:03，系統中檢測到一個顯著的 0.6 Hz 強迫振盪，持續了近 5 分鐘。頻譜分析及後續溯源表明，這次振盪源於巴達霍斯（Badajoz）省一座光伏電站的內部控制邏輯異常。振盪導致了系統電壓出現跌落，為此，電網排程中心採取了緊急阻尼措施，包括更改拓撲結構、切除並聯電抗器，並大幅削減與法國的電力交換。

12:19，系統再次出現 0.2 Hz 的歐洲區域間振盪⁷，併疊加了之前殘留的 0.6 Hz 振盪。排程中心被迫進一步減少與法國和葡萄牙的電力交換。雖然這些措施有效抑制了振盪，但削減聯絡線潮流這一動作，導致輸電通道輕載，不僅減少了線路上的無功損耗，還因充電功率過剩開始推高系統電壓，為後續的電壓越限埋下了伏筆。

第二階段：電壓攀升與級聯故障的形成（中午 12:22 - 12:33）

從 12:22 開始，系統電壓呈現持續攀升趨勢，儘管尚未突破操作限值，但上升速率異常。這背後是多重因素的疊加效應：

隱性負荷脱網（Hidden Demand Loss）：配電網中約 700 MW 的分散式光伏和自用發電裝置（<1MW）因電壓擾動不明原因脱網。在輸電網看來，這表現為淨負荷突然下降，即「發電大於負荷」，潮流進一步減小，從而導致電壓抬升。
逆變器電源的有功/無功耦合：部分可再生能源電站為響應排程指令降低有功出力。然而，由於這些裝置主要採用功率因數控制⁸（Power Factor Control）而非電壓控制，有功的降低導致其吸收無功的能力同步下降，喪失了抑制電壓上升的手段。
常規機組勵磁響應不足：本應作為電壓「壓艙石」的同步發電機組（需符合 P.O. 7.4 規程），未能按預期深度進相執行吸收無功，導致動態電壓支撐失效。

12:32:57，位於格拉納達（Granada）的一座發電站發生跳閘，損失 355 MW 有功出力及 165 Mvar 的無功吸收能力。值得注意的是，此時輸電網側電壓仍在正常範圍內⁹。報告推斷故障根源在於升壓變壓器的有載調壓¹⁰動作滯後。當主網電壓升高時，分接頭未能及時響應，導致發電機側（220kV 側）出現嚴重的過電壓，觸發繼電保護動作跳閘。

19.5 秒後（12:33:16），巴達霍斯省另外兩座光伏電站相繼跳閘，累計再損失 727 MW。原因同樣指向電站內部過壓保護配合不當，而非主網故障。

在隨後的 650 毫秒內，西班牙各地的風電和光伏電站發生雪崩式脱網，額外損失約 834 MW。此時，系統已從電壓問題轉化為嚴重的有功功率缺額。

第三階段：孤網執行與系統崩潰（中午 12:33 之後）

在短短 22.5 秒的級聯故障中，系統累計瞬時損失了約 2000 MW 的發電量。鉅額的功率缺口導致系統頻率急劇跳水，而大量進相執行機組的脱網又導致系統喪失了無功吸收能力，電壓開始失控性飆升。

12:33:19，西班牙與法國的交流聯絡線因嚴重功角失步跳閘。西班牙和葡萄牙電網進入孤網執行¹¹狀態。

儘管交流線已斷開，但西班牙與法國之間的 HVDC（高壓直流輸電）鏈路由於處於恆功率控制模式且未配置頻率響應功能¹²，並未切斷，仍強行向法國出口 1000 MW 功率。這使得本已脆弱不堪的孤網雪上加霜。

雖然低頻減載⁵裝置正確動作試圖挽救頻率，但切除負荷會導致線路空載電壓進一步升高。「電壓升高–>發電機過壓保護脱網–>低頻率–>切負荷–>電壓進一步升高」的惡性迴圈讓系統徹底失去穩定。

隨着頻率跌破 47.79 Hz，核電站、燃氣輪機等大型基荷機組因低頻保護動作相繼脱網。最終，在 12:33:24，伊比利亞半島電力系統電壓崩潰¹³，全網陷入大停電。

一些基本概念

為了徹底理解這兩起事故的本質區別，我們需要先複習一些電氣工程的核心概念，建立起分析問題的理論基礎。

有功功率、無功功率與復功率

在交流電路中，「功率」是一個複數概念。

有功功率 ($P$)：復功率的實部，單位是瓦特 ($\text{W}$)。它是實際做功、轉換能量（如發光、發熱、驅動電機）的部分。
無功功率 ($Q$)：復功率的虛部，單位是乏 ($\text{var}$)。它並不直接做功，而是在電源和儲能元件（電感、電容）之間往復交換能量，用於建立和維持電磁場。
復功率 ($\widetilde{S}$)：二者的向量和。

公式表示為：

$$ \widetilde{S} = P + jQ $$

裝置銘牌上標註的通常是視在功率 ($S$)，即復功率的模，單位是伏安 ($\text{V}\cdot\text{A}$)，其物理意義是裝置能夠承受的電壓與電流乘積的極限：

$$ S = |\widetilde{S}| = \sqrt{P^2 + Q^2} $$

形象的理解： 如果你在拉一輛車，有功功率就是你朝車前進方向用的力，它讓車真正移動；無功功率則是你為了維持姿勢或者因為路面傾斜而垂直於移動方向用的力，雖然它不做功，但必不可少¹⁴。

在電網中，無功功率的核心作用是支撐電壓。如果無功不足，電壓就會像泄氣的皮球一樣支撐不住；如果無功過剩，電壓就會像充氣過度的氣球一樣飆升。因此，電力系統的一大原則是無功功率要「分層分割槽，就地平衡」。

感性無功與容性無功

工程上規定：電感消耗無功，電容產生無功¹⁵。

感性負荷（如電動機、變壓器）：需要消耗正的無功功率來建立磁場。如果電網無法提供足夠的無功，這些裝置就無法正常工作。現實中絕大多數負荷都是感性的。
容性元件（如電容器、長輸電線路的對地電容）：可以看作是無功功率的「發電機」，它們向電網注入無功功率，提升電壓。

電壓降落與 $P-Q$ 解耦

當電流流過一段輸電線路時，首末端之間會產生電壓降落。若忽略線路電阻（在高壓電網中 $X \gg R$），電壓降落的縱分量（影響幅值）和橫分量（影響相位）可以簡化表示為：

$$ \Delta U \approx \frac{QX}{U} \quad \text{(電壓幅值降落)} $$$$ \delta U \approx \frac{PX}{U} \quad \text{(電壓相位差)} $$

這是一個至關重要的結論：

電壓幅值 ($U$) 主要取決於無功功率 ($Q$) 的平衡。無功多了電壓就高，少了電壓就低。這是理解西葡大停電的基礎。
功角/相位 ($\delta$) 主要取決於有功功率 ($P$) 的平衡。這與系統的頻率特性密切相關。

系統慣量與頻率特性

為了理解2019 年英國大停電，我們還需要引入慣量 ($H$) 的概念。

電網頻率 ($f$) 體現了全網有功功率的供需平衡。

當 發電 < 用電 時，轉子動能被抽取，轉速下降，頻率降低。
當 發電 > 用電 時，轉子加速，頻率上升。

傳統的同步發電機有巨大的旋轉轉子，儲存了巨大的動能。當發電機突然脱網（有功缺口）時，這些旋轉的「大鐵疙瘩」會利用慣性釋放動能，阻礙頻率的快速下跌。這被稱為系統的慣量。

然而，光伏和風電透過電力電子裝置併網，它們沒有直接耦合的旋轉質量，被稱為「零慣量」電源。當這些電源佔比很高時，電網就像失去了「飛輪」的緩衝，一旦出事，頻率會跌得極快¹⁶。

容升效應與此次事故的關聯

為什麼切除了發電機，電壓反而會飆升？ 這看似反直覺，實則是容升效應與線路負載共同作用的結果。

高壓輸電線路模型包含兩部分關鍵引數：

串聯電感 ($L$)：電流流過時會消耗無功 ($Q_{consumed} = I^2 X_L$)。
並聯對地電容 ($C$)：電壓作用其上時會產生無功 ($Q_{generated} = U^2 B_C$)。

事故前的平衡狀態：西班牙南部光伏大發，巨大的有功功率 ($P$) 正在透過長距離線路向北輸送。此時線路電流 ($I$) 很大，電感消耗了大量的無功，正好抵消了電容產生的無功，甚至還需要發電機吸收一部分多餘的無功。

事故後的失控過程：當發電機組連鎖脱網，或者因強迫振盪導致潮流中斷時，線路上的有功功率傳輸瞬間歸零，導致電流 ($I$) 驟降。

後果 1：線路電感對無功的消耗 ($I^2 X_L$) 瞬間消失。
後果 2：線路依然帶電，對地電容產生的充電無功 ($U^2 B_C$) 依然存在，甚至因電壓升高而更多。

瞬間，原本被消耗掉的巨量無功功率變得無處可去，全部堆積線上路上，直接將系統電壓「頂」到了破壞性的高度。這就是所謂的「空載線路容升效應」在事故中的極端表現。

兩起不同的事故，一份共同的反思

這兩起事故雖然在演化路徑上截然不同，但其背後折射出的挑戰卻有着驚人的相似性，二者都是現代電網發展程序中必然面臨的「成長的陣痛」。正如南方電網的安全理念所言：「一切事故都可以預防」，作為一名電氣工程專業的學生，我希望透過深入剖析這兩起事故，探尋其底層的技術邏輯，以加深對新型電力系統特性的理解。

表象的差異：崩潰路徑的「一明一暗」

2019 年英國「8·9」大停電是一次典型的，顯性的頻率危機。機組脱網導致有功功率缺口，直接引發頻率驟降，但系統最終依靠低頻減載⁵作為最後一道防線，成功避免了全網崩潰。相比之下，2025 年伊比利亞半島大停電則呈現出了一種更為隱蔽且致命的新形態——隱性的電壓危機。事故雖然始於擾動，但核心矛盾迅速演變為嚴重的無功過剩與電壓失控，而原本用於挽救頻率的低頻減載⁵措施，反而在客觀上惡化了電壓升高，導致整個系統在短短几十秒內徹底瓦解。

這就引出了一個核心問題：傳統的電網故障通常伴隨着電壓跌落，但在 2025 年的事故中，為何會出現發電機組不斷脱網，而系統無功功率反而嚴重過剩、電壓持續飆升的反常現象？傳統的電壓控制手段¹⁷為何全然失效？

答案在於：電壓失控的速率，遠遠超過了傳統防禦手段的響應極限。

事故發生時，伊比利亞南部正值光伏大發，系統呈現「高電壓、輕負荷」的執行特徵。當系統發生強迫振盪時，輸電走廊潮流發生劇變。由於超高壓線路的容升效應顯著，發電機組的連鎖脱網帶來了雙重打擊：一方面，電網失去了大量能夠吸收無功的同步機組；另一方面，線路輸送的有功功率鋭減，導致其自身消耗的無功大幅降低，線路瞬間從「無功負載」變成了巨大的「無功電源」。系統隨即陷入了無功嚴重過剩的惡性迴圈。

面對這種幾十毫秒級甚至更快的電壓崩潰，依靠機械開關投切的並聯電抗器顯得力不從心。首先是速度滯後：從排程指令發出、通訊傳輸到斷路器機械動作，由於包含人為決策和機械過程，往往需要數百毫秒甚至秒級時間，根本無法追趕電壓飆升的速度。其次是調節顆粒度粗糙：電抗器只能以組為單位（如 50 Mvar 或 100 Mvar）進行離散投切，無法像水龍頭一樣提供平滑、連續的調節。在極端的電壓動態過程中，這種非連續的階躍式調節不僅不夠精準，甚至可能引發新的系統擾動。

本質的共性：脆弱性的同根同源

剝開表象的差異，我們會發現兩起事故的根源驚人地一致，都指向了新型電力系統的結構性脆弱：

首先，裝置併網行為的合規性令人擔憂。無論是英國事故中的分散式嵌入式電源，還是伊比利亞事故中的光伏電站，事故擴大的直接推手都是大量機組未能嚴格遵守併網規程（如西班牙的 P.O. 74 標準或英國的 Grid Code）。缺乏故障穿越能力，導致裝置在擾動初期即發生不合規的連鎖脱網，將「小事故」放大為「大災難」。

其次，新型電氣裝置和電源的控制模型長期存在「黑箱化」的問題。系統中存在大量排程中心「看不見、管不着」的盲區。例如英國事故中 Hornsea 海上風電場在故障後的功率異常鋭減，以及大量分散式電源的不可控行為。這些電力電子化裝置內部控制邏輯的「黑箱狀態」，使得傳統的模擬模型失效，排程員無法準確預判系統行為。

更加雪上加霜的是，整個系統的轉動慣量正在越來越少。隨着高比例新能源接入，交流電網的旋轉慣量和短路容量被稀釋，系統抗擾動能力顯著下降。電網變得更加「輕薄」和「敏感」，任何微小的擾動都可能引發劇烈的頻率或電壓波動。

一致的解決方案：邁向韌性電網

基於上述反思，未來的電網建設與事故防禦應當聚焦於以下三個方向：

一曰部署先進的動態無功支撐技術。必須以此為契機，加速推廣 STATCOM（靜止同步補償器）等具有毫秒級響應速度、可平滑調節的電力電子裝備，逐步替代傳統的機械式無功補償裝置，以應對瞬息萬變的電壓動態。

二曰打破「黑箱」，強化全景建模。必須建立更精細化的電磁暫態模擬模型，打破新能源場站和逆變器控制的「黑箱」，確保排程端能真實掌握海量電力電子裝置的動態特性，消除盲區。

三曰革新分析與控制正規化。傳統的基於穩態或工頻量的分析方法已不再適用。我們需要建立涵蓋寬頻域振盪、電壓/頻率耦合特性的新一代安全穩定分析的理論框架，並重新審視低頻減載⁵等傳統防線在新型電網中的適應性。

結語：草台班子

我們在前文中洋洋灑灑分析了複雜的電磁暫態、昂貴的 STATCOM 和精妙的控制理論，但現實卻狠狠地扇了我們一巴掌——摧毀整個電網的，往往不是什麼未研究的知識，而是來自人類本身的不可靠。

機組的併網規程早就白紙黑字寫得明明白白，卻長期未能執行，P.O 7.4 規程更是遲遲未能透過；2019 年英國大停電的「學費」交得那麼貴，所有的事故分析報告都指向了合規性問題，然而 6 年後的伊比利亞半島，竟然還能因為一模一樣的邏輯再次翻車，而且翻的比 6 年前還要慘烈，還要徹底。

面對這種跨越國界、跨越時間的重複犯錯，任何技術層面的分析都顯得蒼白無力。黑格爾那句名言至今聽來依然振聾發聵，且含金量還在隨着每一次大停電不斷暴漲：

「人類從歷史中學到的唯一教訓，就是人類無法從歷史中吸取任何教訓。」

也許這就是世界的本質吧，世界永遠不是圍繞着技術本身運轉的，「人」才是這個世界的決定性因素。這個世界是一個草台班子，而且永遠會是一個草台班子，而只要還是個草台班子，那麼下一次翻車，永遠只是時間問題。

向量偏移保護的初衷是解決「孤島效應」——假設一條配電線路因為故障或檢修，從主電網上被斷開。但這條線路上恰好連線着一個嵌入式發電機，如果沒有向量偏移檢測，這個發電機就會繼續為這條線路供電，進而大大增加裝置損壞的機率，甚至威脅執行檢修人員的安全。因此，向量偏移保護就是早期用於檢測嵌入式發電機是否進入孤網執行狀態的方法。 ↩︎
多為用戶側的小型發電系統。 ↩︎
N-1 安全準則的意思是，當系統中最大的一台機組因故障而停運時，系統應有足夠的備用容量作為頻率和電壓的支撐。 ↩︎
Rate of Change of Frequency，頻率變化率。 ↩︎
低頻減載（Low Frequency Demand Disconnection, LFDD 或者 Under-Frequency Load Shedding, UFLS）是電力系統防止頻率崩潰的關鍵安全保護措施，當系統發生功率缺額導致頻率下降時，它透過自動、分級地切除非重要負荷（如工業用電、路燈等），以快速恢復系統功率平衡，防止大面積停電或系統崩潰。低頻減載系統透過頻率測量和執行單元實現，設定多個頻率動作點（如48.5Hz, 47.5Hz, 46.5Hz），逐級切除負荷，保障重要用戶和核心裝置執行，是電網安全執行的第三道防線。 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎
來源：France24 的報導 ↩︎
技術報告中的原文是「inter-area oscillation」，基於上下文，其意思應該是整個歐洲互聯電網的 0.2Hz 振盪。 ↩︎
風電、光伏等新能源機組一般採用最大功率點追蹤 MPPT，來實現新能源機組出力的最大化。 ↩︎
418kV，仍在標準電壓允許的偏移範圍內。 ↩︎
即變壓器的帶負載調壓。 ↩︎
孤網執行（或孤島執行）指區域性電網脱離主大電網，獨立供電的執行模式，特點是自給自足，但面臨頻率、電壓不穩定等挑戰，依賴儲能和控制技術維持，常見於偏遠地區、島嶼、或工業園區。這裏的孤網執行是因為聯絡線中斷而被迫進入的。 ↩︎
恆功率控制模式（Constant Power Mode）是一種電源輸出模式，它的核心特點是無論負載如何變化，始終保持電源輸出的功率（P）恆定（P = 電壓 V × 電流 I），電源會根據負載需求自動調節電壓和電流，以維持這個恆定功率。 ↩︎
電壓崩潰（Voltage Collapse）是電力系統一種嚴重的事故，指系統因無功功率嚴重不足，導致電壓持續、惡性下降並無法恢復，形成電壓跌落的惡性迴圈，最終引起大面積停電。 ↩︎
工程界常以「啤酒」作比喻：啤酒杯裏的液體是「有功」，上面的泡沫是「無功」。雖然泡沫不解渴，但沒有泡沫的啤酒失去了靈魂（無法建立磁場），且為了裝滿杯子（視在功率），泡沫總是客觀存在的。 ↩︎
這是一個約定俗成的稱呼。嚴格來説，電容是「吸收負的無功」，但在工程實踐中，為了方便理解無功平衡，我們通常説電容「發出/提供感性無功」，起到支撐電壓的作用。 ↩︎
頻率下降的速度被稱為 RoCoF (Rate of Change of Frequency)。高 RoCoF 是導致英國「8.9」停電中分散式電源連鎖脱網的直接元兇。 ↩︎
即消耗過剩無功的措施，如投切並聯電抗器等。 ↩︎

一些關於電力系統分析的筆記

Mon, 03 Feb 2025 15:32:03 +0000

近期進行了一個小測驗，發現了一些我在電力系統分析方面基礎知識的疏漏，遂整理一篇筆記。現在我將這篇筆記中相對通用且有價值的部分分享出來，希望能對正在閲讀這篇文章的你起到一些幫助。

分裂導線的作用

相較於普通導線，分裂導線後等效的 $r_{eq}$ 增大，從而減小了線路電抗，降低了電暈發生的可能性，提高了整個系統的靜態穩定極限，以下是我整理的分裂導線的作用：

降低線路電抗 $X$
$$ r_{eq} \uparrow \Longrightarrow \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x_1 \downarrow = 0.1445 \lg \left( \frac{D_m}{r_{eq} \uparrow} \right) + 0.0157 \mu_r \, (\Omega/\text{km}) & \\ b_1 \uparrow = \omega C_1 = \frac{7.58}{\lg \left( \frac{D_m}{r_{eq} \uparrow} \right)} \times 10^{-6} \, (\text{S/km}) & \end{array} \right. \end{equation} $$
因為電納 $b$ 的變化規律與電抗 $x$ 幾乎相反，所以也可以直接得出分裂導線會增大電納的結論。
提高電暈臨界電壓 $U_{cr}$
$$ U_{cr} \uparrow= E{cr} \cdot r_{eq} \uparrow \cdot \frac{n}{K_{n}} \cdot \ln \frac{D_m}{r_{eq} \uparrow} $$
提高靜態穩定極限 $P_{M}$
$$ P_{M} \uparrow = \frac{E_{q}U}{X \downarrow} $$
減小線路波阻抗 $Z_{c}$，進而提高線路的最大傳輸功率。
$$ Z_{c} \downarrow = \sqrt{\frac{X \downarrow}{B \uparrow}} = \sqrt{\frac{L}{C}} $$
自然功率 $P_{natural} \uparrow = \frac{U_{n}^2}{Z_{c} \downarrow}$，而總功率 $P = P_{n} \times \frac{1}{\sin{\beta} L}$，所以分裂導線可以提高線路的最大傳輸功率。

變壓器分接頭的選擇

看例題：已知某變壓器變比為 $110(1 \pm 2 \times 2.5\%) / 11\text{kV}$，容量為 $20 \text{MVA}$，低壓側母線的最大負荷為 $10.8 + j14.4 \text{MVA}$，最小負荷為 $4.9 + j5 \text{MVA}$，歸算到高壓側的變壓器引數為 $5 + j60 \Omega$，變電所高壓側母線在任何情況下均維持電壓為 $107 kV$，為了使低壓側母線保持順調壓，該變壓器應當選擇哪個分接頭？

A. 主接頭檔，$ U_1 = 110 kV $

B. 110(1 - 5%) 檔，$ U_1 = 104.5 kV$

C.110(1 + 2.5%)檔，$U_1 = 112.75 kV$

D.110(1 - 2.5%) 檔，$ U_1 = 107.25kV$

一個公式：$U_{TJ} = U_2’ \cdot \frac{U_{2N}}{U_2}$

其中 $U_2’$ 為歸算到一次側的二次側電壓，$U_{2N}$ 為變壓器二次側額定電壓，$U_2$ 為實際的要求電壓。為了計算得到分接頭電壓 $U_{TJ}$，需要分別求出最大負荷時的分接頭電壓 $U_{TJmax}$ 和最小負荷時的分接頭電壓 $U_{TJmin}$，再將兩者取平均值得 $U_{TJav}$，最後選取最接近 $U_{TJav}$ 的分接頭。題目中，變壓器二次側額定電壓 $U_{2N}$ 為 11kV。$U_2$ 的確定則需要蔘考知識點「中樞電壓的調整方式」。

中樞點電壓的調整方式

調壓方式	最大負荷要求電壓（不小於）	最小負荷要求電壓（不大於）	特點
順調壓	$ 1.025 U_N $	$ 1.075 U_N $	難度最小，適用於供電範圍小，線路不長，供電要求低的場景。
逆調壓	$1.05U_N$	$U_N$	難度最大。
常調壓（恆調壓）	$1.02U_N\sim1.05U_N$	$1.02U_N\sim1.05U_N$

注意這個表格中的 $U_N$ 為低壓側母線的額定電壓。

題目中要求低壓側母線保持順調壓，且低壓側額定電壓可輕易看出（1.1 倍額定電壓 = 11kV）為 10kV，則最大負荷時 $U_{2max} = 1.025 U_N = 10.25kV$，最小負荷時 $U_{2min} = 1.075 U_N = 10.75 kV$，歸算到高壓側的低壓側額定電壓則需要在高壓側電壓的基礎上減去變壓器的電壓降落，具體計算公式為：

$$ U_{2max}' = U_1 - \frac{P_{max}R + Q_{max}X}{U_1} = 107 - \frac{10.8 \times 5 + 14.4 \times 60}{107} = 98.42 kV \\ U_{2min}' = U_1 - \frac{P_{min}R + Q_{min}X}{U_1} = 107 - \frac{4.9 \times 5 + 5 \times 60}{107} = 103.97 kV $$

最後將所有資料代入計算：

$$ \begin{cases} U_{TJ\max} = U_{2\max}' \cdot \frac{U_{2N\max}}{U_{2\max}} = 98.42 \times \frac{11}{10.25} = 105.62~\text{kV} \\ U_{TJ\min} = U_{2\min}' \cdot \frac{U_{2N\min}}{U_{2\min}} = 103.97 \times \frac{11}{10.75} = 106.39~\text{kV} \end{cases} \Rightarrow U_{TJ} = \frac{U_{TJ\max} + U_{TJ\min}}{2} = \frac{105.62 + 106.39}{2} = 106.005\text{kV} $$

選擇距離 $U_{TJ}$ 最近的分接頭，題目中「D.110(1 - 2.5%) 檔，$ U_1 = 107.25kV$」最為接近，所以本題選 D。

其實這道題有問題……

最後以選擇分接頭後變壓器的最終變比校驗這個分接頭：

$$ U_{2max} = U_{2max}' \times \frac{11 kV}{107.25 kV} = 10.09 kV < 10.25 kV\\ U_{2min} = U_{2min}' \times \frac{11 kV}{107.25 kV} = 10.66 kV < 10.75 kV $$

可以看到，如果選擇這個變比，校驗是不成功的，但這道題並非出自什麼非常正式的考試，所以大家看着笑笑就完事了。

調差係數百分比

調差係數為功頻靜態特性引數 $K_{G*}$ 的倒數，符號為 $\sigma_{*}$，其用百分數表示就是調差係數百分比。

$$ \frac{\sigma_{ *}\%}{100} = \frac{1}{K_{G*}} $$

極限切除角的計算

先來看一道例題：系統接線如下圖所示，設在一回線路始端突然發生三相短路，已知原動機機械功率 $P_T = 1.5$，雙回線路執行時系統的功角特性為 $P_I = 3 \sin{\delta}$，切除一回線路後系統的功角特性為 $P_{III} = 2\sin{\delta}$。則故障的極限切除角 $\delta_m =$ ?

按照某些教材上的説法，你需要將所有資料代入下面這個公式裏：

$$ \cos{\delta_{cm}} = \frac{P_T(\delta_h - \delta_0) + P_{IIImax}\cos{\delta_h} - P_{IImax}\cos{\delta_0}}{P_{IIImax} - P_{IImax}} $$

求出 $\cos{\delta_{cm}}$ 的值之後再代入反三角函式得到最終的角度 $\delta_{cm}$。先不説這個過程到底復不復雜，這種又臭又長的公式我看到就不想記。所以我們直接用等面積定則來做——如下圖所示，根據等面積定則的定義，可以列出如下等式：

$$ \int_{\delta_0}^{\delta_{cmax}} P_m - P_{II} \mathrm{d}\delta = \int_{\delta_{cmax}}^{\delta{max} = \delta_k'}P_{III} - P_m \mathrm{d}\delta $$

其中 $\delta*{cmax} $ 就是極限切除角。根據題目條件，分別列寫加速面積和減速面積的表示式，可以得到如下的等式，其中出於方便以 $ x $ 代替了 $ \delta*{cmax} $：

$$ \int_{\frac{\pi}{6} }^{x} (1.5 - 0) \mathrm{d}x = \int_{x}^{\pi - \arcsin{0.75}} (2\sin{x} - 1.5) \mathrm{d}x $$

接下來就是微積分的事情了：

$$ [1.5x]^x_{\frac{\pi}{6}} = [-2\cos{x} - 1.5x]^{\pi - \arcsin{0.75}}_x \\ 1.5x - 1.5 \times \frac{\pi}{6} = [-2\cos{(\pi - \arcsin{0.75})}-1.5 \times (\pi - \arcsin{0.75})]-(-2\cos{x} - 1.5x) \\ 1.5x - \frac{\pi}{4} = -2\cos{(\pi - \arcsin{0.75})} - 1.5\pi + 1.5 \times \arcsin{0.75} + 2\cos{x} +1.5x \\ \frac{5}{4}\pi + 2\cos{(\pi - \arcsin{0.75})} - 1.5 \times \arcsin{0.75} = 2\cos{x} \\ \cos{x} = \frac{5}{8} \pi - \cos{(\arcsin{0.75})} - 0.75 \times \arcsin{0.75} \\ \cos{x} = 0.66601 $$

最後將 $\cos{x}$ 的值代入反三角函式可以求得角度大約為 48.2 度，這個角度也就是我們要求的極限切除角。計算過程中，需要注意：

右邊的積分終點也是故障切除後的功角特性 $P_{III}$ 和原動機功率 $P_T$ 的交點。
左邊的積分是 $P_T - P_{II}$，右邊的積分是 $P_{III} - P_{T}$，本題是三相短路，所以 $P_{II} = 0$，不要搞錯了。
由於推導時所用的值全都以標么值表示，因而式中 $\delta_c$、$\delta_k’$ 等角度亦需以 rad 表示（$360\degree = 2\pi \text{ rad}$）。
最後一步等式右邊求出來是 $\cos{x}$ 的值，而不是弧度，不要一着急一股腦直接 $0.66601 \times \frac{180 \degree}{\pi}$ 求出一個錯誤的角度而前功盡棄。做題要一步一步來，充分發揮草稿紙充當自己第二大腦的作用，不要跳步，不要心急。

不對稱短路電流與正序電流的關係

短路型別	短路電流
單相短路	$I_{fn} = 3 I_{fl}$
兩相短路	$I_{fb} = I_{fc} = \sqrt{3} I_{fl}$
兩相短路接地	$I_{fb} = I_{fc} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{x_{\Sigma0}x_{\Sigma2}}{(x_{\Sigma0}+x_{\Sigma2})^2} }I_{fl}$

潮流計算中節點的分類

節點型別	已知量	待求量	節點數量（總共有 n 個節點）	備註
PQ 節點	有功功率 $P_i$ 和無功功率 $Q_i$	電壓幅值 $U_i$ 和相角 $\delta_i$	$m$	一般是用戶
PV 節點	有功功率 $P_i$ 和電壓幅值 $U_i$	無功功率 $Q_i$ 和相角 $\delta_i$	$n-m-1$	具有電壓調節能力的節點，比如靜止無功補償器
平衡節點	電壓幅值 $U_i = 1$ 和相角 $\delta_i = 0$	有功功率 $P_i$ 和無功功率 $Q_i$	$1$	承擔平衡全網功率任務的大容量機組

靜態儲備係數的計算

例題：在如下圖所示的電力系統中，已知以發電機額定容量為基準的各元件電抗和系統電壓的標么值為：正常執行時，$x_d = 1.8$、$x_{T1}=x_{T2}=0.25$、$U=1.0$、$P=0.8$、$\cos{\Phi}=0.8$，若發電機為隱極機，空載電動勢 $E_q = \text{常數}$，則正常執行時，靜態穩定儲備係數$K_p = $？

靜態穩定儲備係數的計算公式如下：

$$ K_p = \frac{P_M - P_0}{P_0} $$

本題中 $P_0$ 已知等於 0.8，所以題目就變成求 $P_M$ ，其計算公式如下：

$$ P_M = \frac{E_qU}{X_{d\Sigma}} $$

本題中 $X_{d\Sigma} = x_d + x_{T1} +\frac{x_L}{2} + x_{T2} = 2.55$，$U = 1.0$，所以問題又變為求 $E_q$。題目中 $P = 0.8、\cos{\Phi}=0.8$，則 $S = 1.0，Q = 0.6$，已知 P、Q、U，求上一級節點的電壓，公式如下：

$$ \begin{cases} \Delta U = \frac{PR + QX}{U} = \frac{0 + 0.6 \times 2.55}{1.0} = 1.53 \\ \delta U = \frac{PX - QR}{U} = \frac{0.8 \times 2.55 - 0}{1.0} = 2.04 \\ \end{cases} \Longrightarrow E_q = \sqrt{(U + \Delta U)^2 + \delta U^2} = \sqrt{(1 + 1.53)^2 + 2.04^2} = 3.25 $$

其中 $\Delta U$ 是縱分量，$\delta U$ 是橫分量。

關於縱分量和橫分量的定義：這個定義並非以笛卡爾座標系為蔘考基準，而是以觀察者的視角為基準，前後為縱，垂直為橫。

現在 $E_q$ 已經求得，最後求出 $P_M$ 進而求出 $K_p$：

$$ P_M = \frac{E_qU}{X_{d\Sigma}} = \frac{3.25 \times 1.0}{2.55} = 1.27 \\ K_p = \frac{P_M - P_0}{P_0} = \frac{1.27 - 0.8}{0.8} = 0.5875 = 58.75\% $$